Capacitors & inductors / ek

1Capacitors, Inductors and Scope-dependent Topics

1.1Capacitance: Charge ve voltage ilişkisi

Capacitor, elektrik alanında energy depolar. İdeal ve sabit capacitance için $q=Cv$, dolayısıyla PSC ile:

Capacitor voltage'ı aniden değişirse ideal modelde impulsive current gerekir. Sonlu current altında $v_C(0^+)=v_C(0^-)$. Current ise aniden değişebilir. Long-time DC steady state (uzun süre sonraki DC kararlı durum) altında $dv_C/dt=0$, bu yüzden capacitor open circuit gibi davranır. Bu yalnızca o kararlı durum içindir; anahtarlama anında capacitor'u doğrudan open yapıp initial voltage'ı kaybetme.

1.2Geometry: Hoca vurgusu ve doğru yönler

Parallel-plate capacitor (paralel levhalı kondansatör) için yaklaşık:

Area $A$ artarsa capacitance artar; spacing $d$ artarsa azalır; permittivity $\epsilon_r$ artarsa artar. Bu yorumda diğer parametreler sabit tutulur.

1.3Series ve parallel capacitors

Parallel capacitor'ların voltage'ı aynıdır ve capacitance'ları toplanır: $C_p=\sum C_k$. Series capacitor'lar için $1/C_s=\sum 1/C_k$. Başlangıçta nötr, ara node'ları yalıtılmış bir series grupta charge büyüklüğü aynıdır; voltage $V_k=Q/C_k$ olduğundan küçük capacitance daha fazla voltage taşır. Başlangıç charge'ları verilmişse bu basit eşit-charge varsayımı ayrıca kontrol edilir.

Örnek: 20 mF, 30 mF ve 60 mF series için equivalent 10 mF. 30 V altında $Q=C_{eq}V=0.3$ C. Drops sırasıyla 15 V,10 V,5 V. 60 mF, parallel 40 mF ve 20 mF'den oluşabilir; o iki elemanın her birinde 5 V bulunur. Kaynak [K0290] S12–15.

1.4Inductance: Current continuity

İdeal inductor manyetik alanda energy depolar. PSC ile:

Sonlu voltage altında current aniden sıçramaz: $i_L(0^+)=i_L(0^-)$. Long-time DC steady state'te ideal inductor short circuit gibi davranır. Gerçek bobinde winding resistance (sargı direnci) vardır; bu yüzden “DC'de ideal L short, gerçek coil'de sargı direnci kalır” ayrımı yapılmalıdır.

Mutual coupling (karşılıklı endüktif bağlaşım) yoksa series inductance'lar toplanır; parallel için tersleri toplanır. Mutual coupling verilmişse bu basit formüller tek başına geçerli değildir. 2 H inductor current'ı doğrusal biçimde 0.5 s'de 3 A değişirse $v=L\Delta i/\Delta t=12$ V; değişim doğrusal değilse bu hesap ortalama voltage verir.

1.5Switching sorusu için üç ayrı zaman

$t=0^-$ anahtarlama öncesi; $t=0^+$ hemen sonrası; $t\to\infty$ yeni bağlantının uzun süre sonraki durumudur. Önce switch'in hangi konumda olduğunu ve önceki durumun uzun süre sürüp sürmediğini oku. Ardından:

1. $0^-$ DC steady state için C open, L short yap; $v_C(0^-)$ ve $i_L(0^-)$ bul.
2. Continuity ile $v_C(0^+)$ ve $i_L(0^+)$ değerlerini taşı.
3. Yeni devrenin final DC durumunu çöz; $v_C(\infty)$ ve $i_L(\infty)$ bul.
4. First-order devrede resistance seen by storage element ile time constant bul.

Bir capacitor'un continuity'si voltage içindir, current değil. Bir inductor'un continuity'si current içindir, voltage değil. Bu iki kuralı değiştirmek switching sorularının en yaygın hatasıdır.

1.6First-order response ve time constant

Tek bağımsız energy-storage state içeren doğrusal RC/RL devresinde:

RC için $\tau=R_{seen}C$; RL için $\tau=L/R_{seen}$. $R_{seen}$ bulunurken independent source'lar kapatılır, dependent source varsa test source uygulanır. $t=\tau$'da başlangıç ile final arasındaki farkın %36.8'i, $5\tau$'da yaklaşık %0.67'si kalır.

Örnek: 10 V source, 2 $\Omega$ series resistance üzerinden 7 F capacitor'u beslesin. Önce switch açık ve uzun süre sonra $v_C(0^-)=10$ V. $t=0$'da capacitor'a parallel 2 $\Omega$ branch bağlansın. Yeni final voltage divider'dan 5 V; $R_{seen}=2\parallel 2=1\Omega$, $\tau=7$ s. Response $v_C(t)=5+5 e^{-t/7}$ V. Capacitor başlangıçta 10 V'u korur, sonra 5 V'a iner. Bu, 2021 final Q16–17'nin topology'sine göre açıklayıcı çözümdür [EK-R1,EK-R2].

1.7Sinusoid parametreleri ve RMS

$v(t)=V_m\cos(\omega t+\phi)$ için peak (tepe) $V_m$, angular frequency (açısal frekans) $\omega$, phase (faz) $\phi$'dir. $\omega=2\pi f$, $T=1/f$. Sıfır DC offset'li saf sinusoid için $V_{rms}=V_m/\sqrt 2$. RMS (root mean square, etkin değer) ile instantaneous value (anlık değer) aynı değildir.

Örneğin $15\sin(4\pi t+45^\circ)$ için $\omega=4\pi\simeq 12.57$ rad/s, $f=2$ Hz, $T=0.5$ s. $15$ peak değeridir; RMS yaklaşık 10.607'dir. Fazı karşılaştırmadan önce iki ifadeyi aynı sin/cos tabanına ve pozitif amplitude'a dönüştür.

1.8Phasor ve impedance

Sinusoidal steady state'te aynı angular frequency'ye sahip doğrusal devre için türev işlemi $j\omega$ ile çarpmaya dönüşür. Peak veya RMS phasor kullanılabilir; bütün devrede aynı convention korunmalıdır:

Series impedance'lar toplanır; parallel impedance'ların tersleri toplanır. Voltage divider bu kez $V_k=V_sZ_k/\sum Z$ olur. Inductor'da voltage current'ı 90 derece leads (önder); capacitor'da current voltage'ı 90 derece leads. Frequency arttıkça $|Z_L|$ artar, $|Z_C|$ azalır.

1.9Çıkmış RL sinusoid örneği ve hatalı işaretli seçenek

13.01.2023 final setinde $v_s=20\sin(10 t+30^\circ)$ V, $R=4\Omega$, $L=0.2$ H [K0290 S2–3]. $Z=4+j 2=\sqrt{20}\angle 26.565^\circ\Omega$:

Inductor voltage'ı current'tan 90 derece önde: $v_L(t)=8.944\sin(10 t+93.435^\circ)$ V. Sorudaki el işaretinin S3'te 100 A'lik bir şıkkı seçmesi doğru çözüm kanıtı değildir; doğru current amplitude $20/\sqrt{20}=4.472$ A'dir.

1.10Vize için çalışma sırası

Bu bölümdeki capacitor/inductor tanımları temel kavramlara katkı sağlar. Switching ve phasor başlıkları ise dersin güncel sınırında yoksa vize çalışmasının önüne alınmamalıdır. Arşivde final sorusu olması bir konunun vizede sorulduğunu kanıtlamaz. Ana DC konularını ve yeni sınıf fotoğraflarındaki Nodal/Loop denklemlerini önce tamamla.