Circuit theorems / kapsam kontrolü

1Superposition, Source Transformation and Equivalent Circuits

1.1Linearity: Neyi toplayabiliriz?

Linearity (doğrusallık), homogeneity (ölçekleme) ve additivity (toplanabilirlik) özelliklerinin birlikte sağlanmasıdır. Dirençli doğrusal ağda bir source iki katına çıkarılıp diğerleri uygun biçimde sıfırlanırsa ona bağlı response da iki katına çıkar. Response burada current veya voltage'dır.

Power, $i^2R$ veya $v^2/R$ içerdiği için doğrusal response değildir. Örneğin iki source'un ayrı ayrı oluşturduğu current'lar 1 A ve 2 A ise toplam current 3 A; resistor power ise $9R$ olur. Ayrı power'ları $R+4R=5R$ toplamak doğru değildir.

1.2Source deactivation: Sıfırlamak ne demek?

Independent voltage source'u sıfırlamak $v=0$ demektir; ideal short circuit ile değiştirilir. Independent current source'u sıfırlamak $i=0$ demektir; ideal open circuit ile değiştirilir. Source'a ait ayrı bir iç resistance çizilmişse o resistor devrede kalır.

1.3Superposition Theorem: Adım adım

1) Bulunacak current/voltage için tek bir referans tanımla. 2) Bir independent source'u aktif tut. 3) Diğer independent source'ları sıfırla. 4) O source'un response katkısını hesapla. 5) Her independent source için tekrarla. 6) İşaretli katkıları topla. 7) İsteniyorsa power'ı toplam current/voltage'dan hesapla.

Bir alt devrede current yönü ilk seçimine ters çıkarsa negatif katkı yazılır. Alt devreler arasında ölçüm polarity'sini veya current okunu değiştirmek işaretlerin toplanmasını anlamsız yapar.

1.4Superposition: Çözümü iki yolla doğrulamak

Bir node $v$ ground'a 6 $\Omega$ ve 3 $\Omega$ ile bağlıdır. 6 $\Omega$ yolunun öteki ucu +12 V'a bağlı; 3 $\Omega$ doğrudan ground'a bağlıdır. Ground'dan node'a 2 A current source eklenmiştir.

Yalnız voltage source aktif: current source open; $v'=12\cdot 3/(6+3)=4$ V. Yalnız current source aktif: voltage source short; $6\parallel 3=2\Omega$, $v''=2\cdot 2=4$ V. Toplam $v=8$ V. 3 $\Omega$ üzerindeki current $8/3$ A.

Tek KCL kontrolü: $(v-12)/6+v/3=2$; $v-12+2 v=12$, $v=8$ V. Load power $v^2/3=64/3$ W. Alt devre power'ları $16/3+16/3=32/3$ W toplamı bu değere eşit değildir; power superposition uygulanmaz.

1.5Source Transformation: Terminal equivalence

$V_s$ voltage source'una series $R$ bağlıysa, aynı iki terminalden bakıldığında $I_s=V_s/R$ current source'una parallel aynı $R$ ile eşdeğerdir. Ters dönüşüm $V_s=I_sR$:

Current source oku equivalent voltage source'un + terminaline doğru olmalıdır. Eşdeğerlik, dış terminal voltage–current ilişkisini korur. İçteki source'un power'ı ve series resistance current'ı, dönüşümden sonra birebir aynı olmak zorunda değildir.

Örnek: 12 V series 3 k$\Omega$ yerine 4 mA parallel 3 k$\Omega$. 6 k$\Omega$ load bağlıyken voltage biçimi $V_L=12\cdot 6/(3+6)=8$ V; current biçimi $I_L=4\cdot 3/(3+6)=4/3$ mA ve $V_L=8$ V. Terminal sonucu aynıdır.

1.6Thevenin's Theorem: Yükü çıkarıp soldaki ağı görmek

Linear iki-terminal bir network, bir $V_{Th}$ source ve series $R_{Th}$ ile temsil edilebilir. $V_{Th}$, load çıkarılmışken open-circuit terminal voltage $V_{oc}$'dir. Load'un current'ı sıfır olsa bile iç ağdaki bütün current'lar sıfır olmayabilir.

Yöntem: load'u ayır; a–b terminal polarity'sini seç; aktif kaynaklarla $V_{oc}$ bul; bağımsız kaynakları kapatıp a–b'den görülen equivalent resistance'ı bul; dependent source varsa test source yöntemi kullan; load'u tekrar bağla:

1.7Çıkmış finalden temel soru: 50 V, 5 ve 20 ohm [K0290 S19]

50 V source, series 5 $\Omega$ ve ground'a 20 $\Omega$ ile divider oluşturuyor; a–b terminalleri 20 $\Omega$ ile aynı iki node'dadır. Harici load henüz bağlı değildir. $V_{Th}=50\cdot 20/(5+20)=40$ V.

Source short yapıldığında 5 $\Omega$ ile 20 $\Omega$ aynı a–b terminalleri arasında paralel görünür: $R_{Th}=5\parallel 20=4\Omega$. Yanlış 25 $\Omega$ cevabı, source kapatıldıktan sonraki yeni bağlantıyı yeniden çizmemekten gelir. Özgün soru final etiketlidir; vize sorusu sayılmamıştır.

1.8Norton's Theorem ve kısa devre current'ı

Norton equivalent, $I_N$ current source ve parallel $R_N$'dir. $R_N=R_{Th}$, $I_N=I_{sc}=V_{Th}/R_{Th}$. $I_{sc}$, a–b short yapıldığında dış short üzerinden a'dan b'ye seçilen current'tır.

Önceki örnekte $I_N=40/4=10$ A. Doğrudan kontrol: a–b short yapılınca 20 $\Omega$ bypass olur ve 50 V sadece 5 $\Omega$ üzerinden 10 A üretir. Bu 10 A short'tan geçer. Network'ün normal open-circuit iç current'ı 2 A iken short current'ının 10 A olması çelişki değildir; terminal koşulu değişmiştir.

1.9Test source ile $R_{Th}$: Dependent source varsa

Independent source'ları kapat, dependent source'ları koru. a–b'ye $V_t=1$ V test source uygula; network'e a ucundan giren $I_t$ current'ını çöz. $R_{Th}=V_t/I_t$. İstersen $I_t=1$ A enjekte edip çıkan $V_t$'yi bul. Test source yönü ile oran işareti tutarlı olmalıdır.

Öğretici örnek: port'a paralel 2 k$\Omega$ resistor ve port'tan ground'a $0.5 v$ mA dependent source var; $v$ port voltage'ı. 1 V test voltage altında resistor 0.5 mA, dependent source 0.5 mA çeker; toplam 1 mA. $R_{Th}=1\text{ V}/1\text{ mA}=1$ k$\Omega$. Sadece görünen resistor'ı alıp 2 k$\Omega$ demek yanlıştır.

Dependent source ağı enerji sağlayabildiğinden test source hesabında negatif equivalent resistance da mümkün olabilir. Bu notlardaki maksimum power formülü ise pozitif $R_{Th}$ varsayımıyla verilmiştir.

1.10Maximum Power Transfer: Hangi load?

Pozitif $R_{Th}$'li DC resistive Thevenin ağı için:

Load çok küçükse current büyük ama load voltage küçük; load çok büyükse voltage büyük ama current küçük. Türev sıfırlandığında:

50 V örneğinin equivalent'ı $40$ V, $4\Omega$ idi. En uygun load 4 $\Omega$, current 5 A, load voltage 20 V ve $P_{max}=100$ W. Aynı equivalent iç resistance da 100 W tüketir; bu çalışma noktası maksimum verim anlamına gelmez. Thevenin biçiminde güç aktarım verimi %50'dir.

1.11Aynı soru için yöntem seçimi

Birden fazla load değeri isteniyorsa Thevenin/Norton başlangıç maliyetini karşılar. Birkaç independent source'un katkıları soruluyorsa Superposition kullan. Series voltage source ile parallel current source biçimleri birbirine dönüştürülebiliyorsa Source Transformation devreyi azaltabilir. Bütün ağ için node voltage gerekiyorsa Nodal çoğu zaman daha doğrudan olur.